a) Tứ giác $AMBN$ có:

$\widehat A=\widehat M=\widehat B=\widehat N=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên $AMBN$ là hình chữ nhật.

b) Ta có:

$\Delta ABP\bot B$: $\widehat{NPQ}+\widehat{OAN}=90^o$

$\Delta AMN\bot A$: $\widehat{AMN}+\widehat{ONA}=90^o$

Mà $\widehat{OAN}=\widehat{ONA}$ (do $\Delta OAN$ có $OA=ON=R$ cân đỉnh O)

$\Rightarrow\widehat{NPQ}=\widehat{AMN}$ (do cùng cộng với hai góc bằng nhau $\widehat{OAN}=\widehat{ONA}$ bằng $90^o$)

$\Rightarrow $ tứ giác $MNPQ$ có:

$\widehat{NPQ}+\widehat{NMQ}=\widehat{AMN}+\widehat{NMQ}=180^o$

$\Rightarrow MNPQ$ nội tiếp một đường tròn hay $M, N, P, Q$ cùng thuộc một đường tròn.

c) $\Delta ABQ$ có: $O$ là trung điểm của AB, E là trung điểm của BQ nên OE là đường trung bình $\Delta ABQ$ nên $OE//AQ$

$OF\bot OE\Rightarrow OF\bot AQ$ mà $AP\bot AQ$

$\Rightarrow OF//AP$ mà $O$ là trung điểm của AB nên $OF$ là đường trung bình của $\Delta ABP\Rightarrow F$ là trung điểm của $BP$

$\Delta MBQ\bot M$ có $E$ là trung điểm cạnh huyền $BQ$ nên $ME=EQ=EB$

$\Rightarrow\Delta EMB$ cân đỉnh E

nên $\widehat{EMB}=\widehat{EBM}$

$\widehat{OMB}=\widehat{OBM}$ (do $\Delta OMB$ có $OM=OB=R $ cân đỉnh O)

$\Rightarrow \widehat{OME}=\widehat{EMB}+\widehat{OMB}=\widehat{EBM}+\widehat{OBM}=90^o$

$\Rightarrow ME\bot MN$

Chứng minh tương tự $NF\bot MN$

Từ 2 điều trên suy ra $ME//NF$