Lời giải: 

a. Xét tam giác ABC có M là trung điểm của AB, N là trung điểm của BC

Suy ra: MN là đường trung bình thuộc cạnh AC của tam giác ABC

⇔ MN//AC (1) và MN = $\frac{1}{2}$ AC

Xét tam giác ACD có Q là trung điểm của AD, P là trung điểm của CD

Suy ra: PQ là đường trung bình thuộc cạnh AC của tam giác ACD

⇔ PQ//AC (2) và PQ = $\frac{1}{2}$ AC

Từ (1) và (2) ⇒ MN//AC//PQ (3)

b. Chứng minh tương tự câu a ta có: 

MQ//NP//BD (4) và và MQ = $\frac{1}{2}$ BD

Từ (3) và (4) suy ra: MNPQ là hình bình hành. (*)

Lại có: ABCD là hình thang cân (gt) 

Suy ra: Hai đường chéo AC và BD bằng nhau 

Mà MN = $\frac{1}{2}$ AC, MQ = $\frac{1}{2}$ BD (chứng minh trên)

⇒ MN = MQ (**)

Từ (*) và (**) ⇒ MNPQ là hình thoi.

Giải thích các bước giải:

Xét tam giác ABC có:

M là trung điểm của AB

N là trung điểm BC

⇒MN là đường trung bình của tam giác ABC

⇒MN//AC và MN=1/2.AC(1)

Xét tam giác ADC có: 

Q là trung điểm của AD

P là trung điểm DC

⇒PQ là đường trung bình của tam giác ADC

⇒PQ//AC và PQ=1/2 AC (2)

Từ (1) và (2)⇒MN//AC//PQ(đpcm)

b)Từ (1) và (2)

⇒MN//PQ và MN=PQ

⇒MNPQ là hình bình hành 

Lại có: QM là đường trung bình của tam giác ADB

⇒QM=1/2DB mà DB=AC vì ABCD là hình thang cân

⇒QM=MN

⇒MNPQ là hình thoi(đpcm)