Giải thích các bước giải:

a )

Xét $ΔAIC$ và $ΔDIB$ có :

$ID$ = $IA$ ( gt )

$BI$ = $CI$ ( $I$ là trung điểm $BC$ )

$\widehat{AIC}$ = $\widehat{DIB}$ ( đối đỉnh )

$⇒$ $ΔAIC$ = $ΔDIB$ ( c.g.c )

b )

Ta có :

$\widehat{ACI}$ = $\widehat{DBI}$ ( $ΔAIC$ = $ΔDIB$  )

Mà 2 góc này lại ở vị trí so le trong

$⇒$ $AC$ // $BD$ ( đpcm )

c )

Ta có :

$\widehat{AHC}$ = $\widehat{DKB}$ = $90^{o}$ 

Mà 2 góc này lại ở vị trí so le trong

$⇒$ $AH$ // $DK$

Xét $ΔAIH$ và $ΔDIK$ có :

$\widehat{AHC}$ = $\widehat{DKB}$ = $90^{o}$ 

$ID$ = $IA$ ( gt )

$\widehat{AIH}$ = $\widehat{DIK}$ ( đối đỉnh )

$⇒$ $ΔAIH$ = $ΔDIK$ ( cạnh huyền - cạnh góc vuông )

$AH$ = $DK$ ( đpcm )

d )

Ta có : 

$AH$ ⊥  $BC$ ( gt )

Mà $M$ ∈ $AH$ 

$→$ $MA$ ⊥ $BC$

Xét tứ giác $ANDM$ có :

$AM$ // $DN$ ( cmt )

$AN$ // $DM$ ( cm )

$⇒$ $ANDM$ là hình bình hành

$⇒$ $AD$ và $MN$ là 2 đường chéo

$⇒$ $M;I;N$ thẳng hàng

bài ở dưới ạ