Đặt `P = (a + b)(b + c)(c + a) - 5abc`

`=> P = (a^2 b + ab^2 + b^2 c + bc^2 + a^2 c + ac^2 + abc + abc) - 5abc` 

`=> P = (a^2 b + ab^2 + b^2 c + bc^2 + a^2 c + ac^2 ) - 3abc`

`=> P = (a^2 b + ab^2 + abc ) + (b^2 + c + bc^2 + abc ) + (a^2 c + ac^2 + abc ) - 6abc`

`=> P = ab(a + b + c) + bc(a + b + c) + ac(a + b + c) - 6abc`

`=> P = (a + b + c)(ab + bc + ac) - 6abc`

`(a + b + c)(ab + bc + ac) \vdots 12` ( do `a + b + c \vdots 12` )

Ta có :

`a + b + c \vdots 12`

Nên hiển nhiên trong 3 số đó sẽ có ít nhất 1 số chia hết cho 2

`=> - 6abc \vdots 6 . 2 = 12`

`=> (a + b + c)(ab + bc + ac) - 6abc\vdots 12`

Hay `P \vdots 12` ( `đpcm` )

`(a+b)(b+c)(a+c)-5abc`

`= (a+b) (ab + bc + ac+c^2)+abc - 6abc`

`= (a+b)(ac+bc+c^2) + (a+b)ab +abc - 6abc`

`= c (a+b)(a+b+c) + (a+b)ab + abc - 6abc`

`= c (a+b)(a+b+c) + ab (a+b+c)-6abc`

`= (a+b+c)(ac+bc +ab) - 6abc`

`a+b+c\vdots 12`

Nên trong 3 số `a,b,c` tồn tại ít nhất 1 số `\vdots 3, \vdots 4`

`-> abc \vdots 4`

`-> -6abc \vdots 24` mà `24\vdots 12`

`-> -6abc \vdots 12`

Lại có : `(a+b+c)(ac+bc+ab)\vdots 12`

`->p\vdots 12`