Đáp án+Giải thích các bước giải:

`A = 2( 9^2009 + ... + 9 + 1 )`

Ta có:`9^2009 + ... + 9  ≡ 0  ( mod 3 )`

`=> 9^2009 + ... + 9 + 1 ≡ 1  ( mod 3 )`

`=> 2( 9^2009 + ... + 9 + 1 ) ≡ 2  ( mod 3 )`

`Hay  A ≡ 2  ( mod 3 )`

mà không có số chính phương nào chia `3` dư `2`

`=> A` không là số chính phương ( đpcm )

`A= 2(9^2009+9^2008+...+ 9 + 1) `

`⇒9A= 2(9^2010+9^2009+...+ 9^2 + 9)`

`⇒9A-A= 2(9^2010+9^2009+...+ 9^2 + 9) - 2(9^2009+9^2008+...+ 9 + 1)`

`⇔ 8A = 2[(9^2010+9^2009+...+ 9^2 + 9)-(9^2009+9^2008+...+ 9 + 1)]`

`⇔ 4A = 9^2010+9^2009+...+ 9^2 + 9-9^2009-9^2008-...- 9 - 1`

`⇔ 4A = 9^2010+(9^2009-9^2009)+(9^2008-9^2008)...+ (9^2 -9^2)+ (9- 9) - 1`

`⇔ 4A = 9^2010- 1`

`⇔ A= (9^2010-1)/4`

`⇔ A= ((9^1005)^2-1)/(2^2)`

Ta có:

$2^2$ là số chình phương

Để $A$ là số chính phương thì `(9^1005)^2-1` là số chính phương

Mà không có số chính phương trừ $1$ là số chính phương ngoài $1$ và $2$

Nên `(9^1005)^2-1` không là số chính phương

Vậy $A$ không là số chính phương