Đáp án + Giải thích các bước giải:

Tóm tắt:

$S_n = \dfrac{1}{5} + \bigg(\dfrac{1}{5}\bigg)^2 + \bigg(\dfrac{1}{5}\bigg)^3 + \bigg(\dfrac{1}{5}\bigg)^4 + ...$

CM: $\lim\limits S_n = \dfrac{1}{4}$
Giải:
Cách 1: Sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Gọi $u_n$ là số hạng thứ $n$ của tổng $S, q$ là công bội của $(u_n)(n \in \mathbb{N^*})$

$\Rightarrow u_1 = \dfrac{1}{5}, q = \dfrac{1}{5}$

$\Rightarrow \lim\limits S_n = \dfrac{u_1}{1 - q} = \dfrac{\dfrac{1}{5}}{1 - \dfrac{1}{5}} = \dfrac{1}{5 - 1} = \dfrac{1}{4}$
Cách 2: Sử dụng định lý về giới hạn hữu hạn của dãy số

Gọi $u_n$ là số hạng thứ $n$ của tổng $S, q$ là công bội của $(u_n)(n \in \mathbb{N^*})$

$\Rightarrow u_1 = \dfrac{1}{5}, q = \dfrac{1}{5}$

$\Rightarrow S_n = \dfrac{u_1(1 - q^n)}{1 - q}$

$= \dfrac{\dfrac{1}{5}\bigg[1 - \bigg(\dfrac{1}{5}\bigg)^n\bigg]}{1 - \dfrac{1}{5}}$

$= \dfrac{1 - \bigg(\dfrac{1}{5}\bigg)^n}{5 - 1}$

$= \dfrac{1 - \dfrac{1}{5^n}}{4}$

Ta có: $\lim \limits \dfrac{1}{5^n} = 0$

$\Rightarrow \lim \limits 1 - \dfrac{1}{5^n} = 1$

$\Rightarrow \lim \limits \dfrac{1 - \dfrac{1}{5^n}}{4} = \dfrac{1}{4}$

$\Rightarrow \lim \limits S_n = \dfrac{1}{4}$