Để xét tính liên tục của hàm số \(f(x)\) trên R, ta cần kiểm tra tính liên tục của hàm số tại mỗi điểm trong miền xác định của nó.

Trong trường hợp này, hàm số \(f(x)\) được định nghĩa theo hai trường hợp:

a. Khi \(x \neq -1\), hàm số được cho bởi \(f(x) = \frac{x^{2}+4x+3}{x+1}\).

b. Khi \(x = -1\), hàm số được cho bởi \(f(x) = 5x+8\).

Để kiểm tra tính liên tục của hàm số tại \(x = -1\), ta cần xem xét giới hạn của hàm số khi \(x\) tiến đến -1 từ cả hai phía trái và phải.

Từ trường hợp a, ta có:

\[\lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1} \frac{x^{2}+4x+3}{x+1}\]

Để tính giới hạn này, ta có thể sử dụng phép chia đạo hàm hoặc phép chia tỉ lệ. Trong trường hợp này, ta sẽ sử dụng phép chia tỉ lệ:

\[\lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1} \frac{(x+1)(x+3)}{x+1}\]

Ở đây, ta có thể rút gọn (x+1) trong tử số và mẫu số:

\[\lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1} (x+3) = -1+3 = 2\]

Vậy, giới hạn của hàm số khi \(x\) tiến đến -1 từ cả hai phía trái và phải là 2.

Do đó, hàm số \(f(x)\) là liên tục trên R.