a, Góc (MN, AD): Chúng ta có trung điểm của một đoạn thẳng là trung điểm của các đỉnh tương ứng. Do đó, O là trung điểm của MN và CD.

Góc giữa hai đoạn thẳng sẽ bằng góc giữa các vectơ tương ứng với chúng. Vì vậy:

∠(MN,AD)=∠(MN,AD)

Vì MN = 2NO, ta có MN→=2NO→MN=2NO. Vector AD là vector tương ứng với AC, nên:

∠(MN,AD)=∠(2NO,AC)

Do đó, ta cần xác định góc giữa hai vector này. Nếu θ là góc giữa hai vector a→ và b→, thì:

cos(θ)=aba⋅b​

Ở đây, NO→=−1/2AC→NO=−21​AC, nên:

∠(MN,AD)=∠(2NO→,AC→)=cos−1(2NOACNO⋅AC​)

b, Góc (MN, CD): Góc giữa hai đoạn thẳng sẽ bằng góc giữa các vectơ tương ứng với chúng. Vậy:

∠(MN,CD)=∠(MN→,CD→)

Tương tự như trên:

∠(MN,CD)=∠(2NO,−AC)=cos−1(2NOACNO⋅(−AC)​)

c, Góc (MN, BP): Góc giữa hai đoạn thẳng là góc giữa các vectơ tương ứng với chúng:

∠(MN,BP)=∠(MN,BP)

Ta có MN=2NO và BP=BC, nên:

∠(MN,BP)=∠(2NO,BC)=cos−1(2NOBCNO⋅BC​)

Tính toán giá trị của các cosinus sử dụng các thông số đã cho và bạn sẽ có kết quả cụ thể cho từng góc.

`a)`

Xét `DeltaABC` có:

`M` là trung điểm `AB`

`N` là trung điểm `BC`

`=>` `MN //// AC` (Tính chất đường trung bình trong tam giác)

`=>` `(MN,AD)=(AC,AD)`

Mà `ABCD` là tứ diện đều `=>` `DeltaCAD` đều `=>` `hat(CAD)=60^o`

`=>` `(AC,AD)=60^o`

`=>` `(MN,AD)=60^o`

`b)`

Ta có: `MN //// AC` (Chứng minh trên)

`=>` `(MN,CD)=(AC,CD)`

Do `DeltaCAD` đều `=>` `hat(ACD)=60^o`

`=>` `(AC,CD)=60^o`

`=>` `(MN,CD)=60^o`

`c)`

Gọi `E` là trung điểm `AD`

Xét `DeltaACD`, có:

`P` là trung điểm `CD`

`E` là trung điểm `AD`

`=>` `PE //// AC` (Tính chất đường trung bình trong tam giác)

Lại có: `MN //// AC` và `MN` không trùng với `PE`

`=>` `MN //// PE`

`=>` `(MN,BP)=(PE,PB)`

Ta có:

`+)` `BE` là trung tuyến của `DeltaABD` `=>` `BE=sqrt((AB^2+BD^2)/2-(AD^2)/4)=(asqrt3)/2`

`+)` `BP` là trung tuyến của `DeltaCBD` `=>` `BP=sqrt((BD^2+BC^2)/2-(CD^2)/4)=(asqrt3)/2`

`+)` `PE` là đường trung bình của `DeltaADC` `=>` `PE=a/2`

Từ đó, suy ra: `cos hat(BPE)=(PB^2+PE^2-BE^2)/(2*PB*PE)=sqrt3/6`

`=>` `hat(BPE)=arccos  sqrt3/6 ~~ 73.2^o`

`=>` `(MN,BP)=(PE,PB) ~~ 73.2^o`