Vì $a,b,c$ tạo thành dãy số cấp số cộng nên $a+c=2b\Rightarrow a^2=(2b-c)^2$

$\Rightarrow a^2+8bc=4b^2+4bc+c^2=(2b+c)^2$

Suy ra biểu thức $P$ trở thành:

$\begin{array}{l}
\dfrac{{2b + c + 3}}{{\sqrt {{{\left( {2b + c} \right)}^2} + 1} }} = P\\
t = 2b + c,P = \dfrac{{t + 3}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}
\end{array}$

Xét hàm số $f(t)=\dfrac{t+3}{\sqrt{t^2+1}}$ trên $(0;+\infty)$ ta có:

$\begin{array}{l}
f'\left( t \right) = \dfrac{{\sqrt {{t^2} + 1}  - \dfrac{{t\left( {t + 3} \right)}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}}}{{{t^2} + 1}} = \dfrac{{1 - 3t}}{{\left( {{t^2} + 1} \right)\sqrt {{t^2} + 1} }}\\
f'\left( t \right) = 0 \Rightarrow t = \dfrac{1}{3} \in \left( {0; + \infty } \right)
\end{array}$

Bấm máy tính hoặc lập bảng biến thiên ta được $f(t)\le f\left(\dfrac{1}{3}\right)$

Ta được $P\le \sqrt{10}$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $t=\dfrac{1}{3}\Rightarrow 2b+c=\dfrac{1}{3}$

Suy ra $x=1,y=10\Rightarrow x+y=11\to A$