Đáp án + Giải thích các bước giải:

Câu 8:

$2020^{mx^2 - 2x + m - 2} = 1$

$\Leftrightarrow mx^2 - 2x + m - 2 = 0(a = m; b = -2; c = m - 2)$

Phương trình có $2$ nghiệm trái dấu $\Rightarrow \begin {cases} m \ne 0 \\ x_1x_2 < 0 \end {cases}$

Áp dụng định lý Viet, ta có:

$\begin {cases} x_1 + x_2 = \dfrac{-b}{a} = \dfrac{2}{m} \\ x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{m - 2}{m} \end {cases}$
Ta có: $\begin {cases} m \ne 0 \\ x_1x_2 < 0 \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} m \ne 0 \\ \dfrac{m - 2}{m} < 0 \end {cases}$ 

Vì $m - 2 < m$ với mọi $m$
$\Rightarrow \begin {cases} m - 2 < 0 \\ m > 0 \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} m < 2 \\ m > 0 \end {cases}$

$\Leftrightarrow 0 < m < 2$

Vậy với $0 < m < 2$ thì phương trình có $2$ nghiệm trái dấu

Câu 9:

$2^{x^2 + 2x} = 8^{2 - x}$

$\Leftrightarrow 2^{x^2 + 2x} = (2^3)^{2 - x}$

$\Leftrightarrow 2^{x^2 + 2x} = 2^{3(2 - x)}$

$\Leftrightarrow x^2 + 2x = 3(2 - x)$

$\Leftrightarrow x^2 + 2x - 6 + 3x = 0$

$\Leftrightarrow x^2 + 5x - 6 = 0$

$\Leftrightarrow$ \(\left[ \begin{array}{l}x=1\\x=-6\end{array} \right.\) 

$\Rightarrow$ Tổng các nghiệm là $1 - 6 = -5$

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là $-5$

Câu 10:

$5^{x + 1} - 5^x = 2^{x + 1} + 2^{x + 3}$

$\Leftrightarrow 5 . 5^x - 5^x = 2 . 2^x + 8 . 2^x$

$\Leftrightarrow 4 . 5^x = 10 . 2^x$
$\Leftrightarrow \bigg(\dfrac{5}{2}\bigg)^x = \dfrac{5}{2}$

$\Leftrightarrow x = 1$

Vậy $S = $`{1}`