Câu 5:

Xét khai triển đa thức:

$\begin{array}{l}
{\left( {x + 1} \right)^{2013}} = C_{2013}^0 + C_{2013}^1x + C_{2013}^2{x^2} + ... + C_{2013}^{2013}{x^{2013}}\\
 \Rightarrow \left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^{2013}}} \right]'\\
 = C_{2013}^1 + 2.C_{2013}^2x + 3C_{2013}^3{x^2} + ... + 2013C_{2013}^{2013}{x^{2012}}\\
 \Leftrightarrow 2013{\left( {x + 1} \right)^{2012}} = C_{2013}^1 + 2.C_{2013}^2x + 3C_{2013}^3{x^2} + ... + 2013C_{2013}^{2013}{x^{2012}}\left( 1 \right)\\
 \Rightarrow \left[ {{{\left( {1 + x} \right)}^{2013}}} \right]''\\
 = 2.C_{2013}^2 + 3.2C_{2013}^3x + ... + 2013.2012.C_{2013}^{2013}\left( 2 \right)
\end{array}$

Lần lượt cộng $(1)$ và $(2)$ và thay $x=1$ ta được:

$\begin{array}{l} 2013{\left( {1 + 1} \right)^{2012}} + 2013.2012{\left( {1 + 1} \right)^{2011}} = C_{2013}^1 + {2^2}C_{2013}^2 + ... + {2013^2}C_{2013}^{2013}\\  \Leftrightarrow {2013.2^{2011}}.\left( {2 + 2012} \right) = C_{2013}^1 + {2^2}C_{2013}^2 + ... + {2013^2}C_{2013}^{2013}\\  \Leftrightarrow {2013.2014.2^{2011}} = C_{2013}^1 + {2^2}C_{2013}^2 + ... + {2013^2}C_{2013}^{2013} \end{array}$

Câu 6:

$\begin{array}{l}
\sqrt {{x^5} + 2{x^3} + 15{x^2} + 14x + 2}  = 3{x^2} + x + 1\\
 \Leftrightarrow {x^5} + 2{x^3} + 15{x^2} + 14x + 2 = {\left( {3{x^2} + x + 1} \right)^2}\\
 \Leftrightarrow {x^5} - 9{x^4} - 4{x^3} + 18{x^2} + 12x + 1 = 0
\end{array}$

Xét hàm số $f(x)={x^5} - 9{x^4} - 4{x^3} + 18{x^2} + 12x + 1 $ là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb R$

Ta có $f(0)=1>0,f(2)=-47<0,f(10)=7921>0,f(-2)=-95<0, f(-1)=1>0, f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{19}{32}$

Do đó phương trình $f(x)=0$ có ít nhất $5$ nghiệm thuộc các khoảng

$\left( { - 2; - 1} \right),\left( { - 1; - \dfrac{1}{2}} \right),\left( { - \dfrac{1}{2};0} \right),\left( {0;2} \right),\left( {2;10} \right)$

Và do phương trình bậc $5$ chỉ có tối đa $5$ nghiệm nên phương trình có đúng $5$ nghiệm phân biệt.