Đáp án + Giải thích các bước giải:

a) Trong $(ABCD)$, gọi $O = AC \cap BD$

$\Rightarrow O$ là trung điểm của $BD$

Xét $\Delta AA'D$ vuông tại $A$, có $A'D = \sqrt{AA'^2 + AD^2} = a\sqrt{2}$

Xét $\Delta AA'B$ vuông tại $A$, có $A'B = \sqrt{AA'^2 + AB^2} = a\sqrt{2}$

$\Rightarrow A'D = A'B$

$\Rightarrow \Delta A'DB$ cân tại $A'$

Mà $O$ là trung điểm của $BD \Rightarrow A'O \bot BD$

Ta có: $\begin {cases} AO \bot BD (O\text{ là trung điểm của }BD, \Delta ABD\text{ cân tại }A) \\ A'O \bot BD (cmt) \end {cases}$
$\Rightarrow [A, BD, A'] = \widehat{AOA'}$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $B$, có $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}= a\sqrt{2}$

$\Rightarrow AO = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

Ta có: $\begin {cases} AA' \bot AB \\ AA' \bot AD \\ AB, AD \subset (ABCD) \\ AB \cap AD = A \end {cases}$
$\Rightarrow AA' \bot (ABCD)$

$\Rightarrow AA' \bot AO$

$\Rightarrow \Delta AOA'$ vuông tại $A$

Xét $\Delta AOA'$ vuông tại $A(cmt)$, có $\tan \widehat{AOA'} = \dfrac{AA'}{AO} = \dfrac{a}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2}$

$\Rightarrow [A, BD, A'] = \widehat{AOA'} \approx 54,74^o$

b) Ta có: $\begin {cases} A'O \bot BD (cmt) \\ CO \bot BD (O\text{ là trung điểm của }BD, \Delta CBD\text{ cân tại }C) \end {cases}$

$\Rightarrow [C, BD, A'] = \widehat{COA'} = 180^o - \widehat{AOA'} \approx 129,26^o$