Đáp án:

Chúng ta có thể giải phương trình bằng cách đánh đồng các đối số của logarit vì chúng có cùng cơ số (5). Tuy nhiên, có một số điểm chính cần xem xét:

1. Đối số logarit: Các đối số (biểu thức bên trong logarit) phải dương để xác định logarit. Vì vậy, chúng ta cần xem xét miền xác định của cả hai biểu thức:

   • 2x + 1 > 0 (đảm bảo giá trị dương cho logarit thứ nhất)
   • -x^2 + 1 > 0 (đảm bảo giá trị dương cho logarit thứ hai)

2. Bình đẳng: Khi chúng ta đánh đồng các đối số, chúng ta sẽ giải một phương trình đa thức.

Hãy tiến hành các bước sau:

Bước 1: Địa chỉ các miền đối số - Giải 2x + 1 > 0: x > -1/2 - Giải -x^2 + 1 > 0: Bất đẳng thức này phân tích thành (x - 1)(x + 1) > 0. Bất đẳng thức đúng khi x < -1 hoặc x > 1.

Kết hợp các ràng buộc này: Chúng ta cần một giá trị của x thỏa mãn cả hai bất đẳng thức. Vì vậy, phạm vi hợp lệ cho x là x ∈ ( -∞, -1/2) ∪ (1, ∞ ).

Bước 2: So sánh các đối số và giải Bây giờ, chúng ta có thể đánh đồng các đối số của logarit: -1(2x + 1) = -x^2 + 1

Khai triển: -2x - 1 = -x^2 + 1

Sắp xếp lại phương trình: x^2 - 2x + 2 = 0

Đây là một phương trình bậc hai. Bạn có thể giải nó bằng công thức bậc hai hoặc phân tích nhân tử.

Tuy nhiên, lưu ý rằng nghiệm thu được từ công thức bậc hai có thể không đúng cho phương trình ban đầu do các hạn chế về miền xác định của x.

Do đó, điều quan trọng là phải kiểm tra nghiệm chúng ta nhận được từ công thức bậc hai dựa trên phạm vi hợp lệ của x mà chúng ta đã xác định trước đó ( x ∈ ( -∞, -1/2) ∪ (1, ∞ ))

Giải phương trình bậc hai (bỏ qua chi tiết cho ngắn gọn): Công thức bậc hai cho x = 1 ± √2

Kiểm tra tính hợp lệ của giải pháp:

• x = 1 + √2 lớn hơn 1 và do đó nằm trong phạm vi hợp lệ
• x = 1 - √2 nhỏ hơn -1/2 và nằm ngoài phạm vi hợp lệ

Do đó, nghiệm duy nhất của phương trình ban đầu là x = 1 + √2

sợ sai quá 

nhớ vote 5 sao nhé

$\begin{array}{l}
DK:\left\{ \begin{array}{l}
2x + 1 > 0\\
 - {x^2} + 1 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x >  - \dfrac{1}{2}\\
 - 1 < x < 1
\end{array} \right. \Rightarrow  - \dfrac{1}{2} < x < 1\\
{\log _{{5^{ - 1}}}}\left( {2x + 1} \right) = {\log _5}\left( { - {x^2} + 1} \right)\\
 \Leftrightarrow  - {\log _5}\left( {2x + 1} \right) = {\log _5}\left( { - {x^2} + 1} \right)\\
 \Leftrightarrow {\log _5}\left[ {\left( {2x + 1} \right)\left( { - {x^2} + 1} \right)} \right] = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)\left( { - {x^2} + 1} \right) = 1\\
 \Leftrightarrow  - 2{x^3} + 2x - {x^2} + 1 = 1\\
 \Leftrightarrow  - x\left( {2{x^2} - x + 2} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow x = 0\left( {tm} \right)\\
 \Rightarrow S = \left\{ 0 \right\}
\end{array}$