Đáp án `+` Giải thích các bước giải

Đạo hàm của hàm số là:

` y' = 3x^2 + 2(m+1)x + m `

Hàm số ` y` đồng biến trên khoảng `(1; +\infty)` khi và chỉ khi ` y' \geq 0 ` trên khoảng này

Chúng ta cần chứng minh : `3x^2 + 2(m+1)x + m \geq 0 \quad \forall x \in (1; +\infty) `

Xét ` x = 1 `: 

`3(1)^2 + 2(m+1)(1) + m \geq 0 ` 

`3 + 2(m+1) + m \geq 0 ` 

`3 + 2m + 2 + m \geq 0 `

`3m + 5 \geq 0 `

`m \geq -\frac{5}{3} `

Xét phương trình ` 3x^2 + 2(m+1)x + m = 0 `

Để nó không có nghiệm thực hoặc có nghiệm kép tại `x > 1 `, yêu cầu `\Delta \leq 0`

Tính `\Delta`: 

`\Delta = [2(m+1)]^2 - 4 \cdot 3 \cdot m ` 

`\Delta = 4(m+1)^2 - 12m `

`\Delta = 4(m^2 + 2m + 1) - 12m `

` \Delta = 4m^2 + 8m + 4 - 12m` 

`\Delta = 4m^2 - 4m + 4 `

` \Delta = 4(m^2 - m + 1) `

Do ` m^2 - m + 1 ` luôn dương với mọi giá trị của ` m ` (vì phương trình bậc hai này có `\Delta' = 1 - 4 = -3`, nên `\Delta > 0`

Vì vậy, điều kiện chính xác để hàm số đồng biến trên khoảng `(1; +\infty)` là: 

`m \geq -\frac{5}{3} `

Kết luận:

Giá trị của ` m ` để hàm số đồng biến trên khoảng `(1; +\infty)` là:

`m \geq -\frac{5}{3} `

Đáp án:

`m >= (-5)/3` 

Giải thích các bước giải:

`y' = 3x^2 + 2(m+1)x +m`

Với `\AA x \in (1; + oo );` để hàm số đồng biến trên khoảng `(1; + oo )`

`<=> 3x^2 + 2(m+1)x +m >= 0`

`<=> 3x^2 +2mx +2x+m >= 0`

`<=> m(2x+1) >= -3x^2 -2x`

`<=> m >= (-3x^2 -2x)/(2m+1)`

`<=> m >= (-5)/3`