180<a<272

-> sin <0 , cos<0`

Ta có : sina +cosa

=`cosa ( (sina)/(cosa) +1)`

`=sqrt(1/(tan^2a+1)).(tana+1)`

`=sqrt(1/(2^2+1)) .(2+1)`

`=1/sqrt5 .3`

`=3/sqrt5`

   - Từ điều kiện đề bài cho, \( 180^\circ < \alpha < 270^\circ \), ta biết α ở góc phần tư thứ ba. Trong góc phần tư này, sin(α) và cos(α) đều âm.

   - Đề bài cho tan(α) = 2. Ta có:

   \[\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = 2.\]

   - Đặt \(\sin(\alpha) = x\) và \(\cos(\alpha) = y\). Ta có:

     \[\frac{x}{y} = 2 \quad \Rightarrow \quad x = 2y.\]

     \[\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 + y^2 = 1.\]

     Thay \( x = 2y \) vào:

     \[(2y)^2 + y^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad 4y^2 + y^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad 5y^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad y^2 = \frac{1}{5}.\]

   - Do \( 180^\circ < \alpha < 270^\circ \), y (cos(α)) âm:

     \[y = \cos(\alpha) = -\sqrt{\frac{1}{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}.\]

   - Từ đó:

     \[ x = \sin(\alpha) = 2y = 2 \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right) = -\frac{2\sqrt{5}}{5}.\]

   \[\sin(\alpha) + \cos(\alpha) = -\frac{2\sqrt{5}}{5} + (-\frac{\sqrt{5}}{5}) = -\frac{3\sqrt{5}}{5}.\]

Vậy giá trị của biểu thức \(\sin(\alpha) + \cos(\alpha)\) là \(-\frac{3\sqrt{5}}{5}\).