Diện tích hình vuông `C_(1)` cạnh `x_(1)=a` là `S_(1)=a^2`

Cạnh hình vuông `C_(2)` là `x_(2)=\sqrt{((5)/(6)x_(1))^2+((1)/(6)x_(2))^2}=(a\sqrt{26})/(6)`

Do đó diện tích `S_(2)=x_(2)^2=13/18a^2=13/18S_(1)`

Cạnh hình vuông `C_(3)` là : `x_(3)=\sqrt{((5)/(6)x_(2))^2+((1)/(6)x_(2))^2}=(x_(2)\sqrt{26})/(6)`

Do đó diện tích  `S_(3)=x_(3)^2=13/18x_(2)^2=13/18S_(2)`

Lý luận tương tự ta có các `S_(1),S_(2),S_(3),...S_(n)...` tạo thành một cặp số nhân lùi vô hạn có `u_(1)=S_(1)` và công bội `q=13/18 . T=S_(1)/(1-q)=(18a^2)/(5)`

Với `T=288/5` ta có `a^2=16` `<=>a=4`

Vậy `a=4`

Đáp án + Giải thích các bước giải:

Gọi $u_n$ là cạnh hình vuông thứ $C_n$

$\Rightarrow u_1 = a$, $S_1 = a^2$

Theo quy luật của đề bài, ta có:

$u_{n + 1} = \sqrt{\bigg(\dfrac{1}{6}u_n\bigg)^2 + \bigg(\dfrac{5}{6}u_n\bigg)^2}$

$= \sqrt{\dfrac{26}{36}}u_n^2$

$= \dfrac{\sqrt{26}}{6}u_n$

$\Rightarrow \dfrac{u_{n + 1}}{u_n} =\dfrac{\sqrt{26}}{6}$
$\Rightarrow \dfrac{S_{n + 1}}{S_n} = \dfrac{u_{n + 1}^2}{u_n^2} = \bigg(\dfrac{u_{n + 1}}{u_n}\bigg)^2 = \dfrac{13}{18} < 1$

$\Rightarrow$ Dãy $S_1, S_2, S_3, ... S_n,...$ là một cấp số nhân lùi vô hạn với $S_1 = a^2$ và $q = \dfrac{13}{18}$

$\Rightarrow T = S_1 + S_2 + S_3 + ... + S_n + ... = \dfrac{S_1}{1 - q} = \dfrac{288}{5}$

$\Leftrightarrow \dfrac{a^2}{1 - \frac{13}{18}} = \dfrac{288}{5}$

$\Leftrightarrow \dfrac{a^2}{\frac{5}{18}} =\dfrac{288}{5}$

$\Leftrightarrow a^2 = 16$

$\Leftrightarrow a = 4($vì $a > 0)$

Vậy $a = 4$