Cách giải

Xét dãy số: `(u_n): \ {(u_1=a),(u_2=b),(u_(n+2)=pu_(n+1)+qu_n-t):}`

`(p,b,p,q,t in RR, \ p+q ne 1)`

Đặt `v_n=u_n+k` `(k in RR)`

`=>` `{(v_1=a+k),(v_2=b+k),(v_(n+2)-k=pv_(n+1)-pk+qv_n-qk-t):}`

Ta có: `v_(n+2)-k=pv_(n+1)-pk+qv_n-qk-t`

`=>` `v_(n+2)-pv_(n+1)-qv_n=k-pk-qk-t`

Mục tiêu ở đây của ta là cho `VP` bằng `0` để đây trở thành một PT đặc trưng của `(v_n)`

`=>` `k-pk-qk-t=0`

`=>` `k(1-p-q)=t`

`=>` `k=(t)/(1-p-q)`

Khi đó: `v_n=alpha*x_1^n+beta*x_2^n`

Với `x_1,x_2` là nghiệm của phương trình: `x^2-px-q=0`

Với `alpha,beta` là nghiệm của hệ: `{(alpha*x_1+beta*x_2=v_1),(alpha*x_1^2+beta*x_2^2=v_2):}`

Từ đó ta tìm được `u_n`

Lưu ý: Để giải bài toán bằng cách này thì phương trình `x^2px-q=0` phải có nghiệm nha

Giải

Đặt `u_n=v_n+5/2`

`=>` `{(v_1=-3/2),(v_2=-9/2),(v_(n+2)+5/2=v_(n+1)+5/2+2v_n+5-5):}`

Ta có: `v_(n+2)+5/2=v_(n+1)+5/2+2v_n+5-5`

`=>` `v_(n+2)-v_(n+1)-2v_n=0`

Do phương trình `x^2-x-2=0` `<=>` `x=2` hoặc `x=-1`

`=>` `v_n=alpha*2^n+beta*(-1)^n` với `alpha,beta` là nghiệm của hệ:

`{(2alpha-beta=v_1=-3/2),(4alpha+beta=v_2=-9/2):}`

`=>` `v_n=-2^n-1/2*(-1)^n`

`=>` `u_n=-2^n-1/2*(-1)^n+5/2`