Ta có: `sinx+cosx=sqrt2.cos(x-pi/4)`

Chứng minh:

`VP=sqrt2.cos(x-pi/4)`

`=sqrt2.(cosxcos\ pi/4+sinxsin\ pi/4)`

`=sqrt2.( (sqrt2)/2cosx+(sqrt2)/2sinx)`

`=sinx+cosx=VT`

Cách 1:

`sinx+cosx=sqrt2`

`<=>sqrt2.cos(x-pi/4)=sqrt2`

`<=>cos(x-pi/4)=1`

`<=>x-pi/4=k2pi`

`<=>x=pi/4+k2pi, k in ZZ`

Cách 2:

`sinx+cosx=sqrt2`

`<=>1/(sqrt(1^2+1^2))sinx+1/(sqrt(1^2+1^2))cosx=(sqrt2)/(sqrt(1^2+1^2))`

`<=>(sqrt2)/2 sinx+(sqrt2)/2cosx=1`

`<=>cos\ pi/4sinx+sin\ pi/4cosx=1`

`<=>sin(pi/4+x)=1`

`<=>pi/4+x=pi/2+k2pi`

`<=>x=pi/4+k2pi, k in ZZ`

Đáp án:

Phương trình lượng giác $sin x + cos x = 2$ vô nghiệm

 Giải thích các bước giải:

Ta có:

$-1 \le sin x \le 1$ 

$-1 \le cos x \le 1$

Do đó: 

$-2 \le sin x + cos x \le 2$

Để phương trình $sin x + cos x = 2$ có nghiệm thì $sin x + cos x$ phải bằng `2.`

Điều này chỉ xảy ra khi $sin x = cos x = 1$

Mà $sin^2 x + cos^2 x = 1$ `->`  không tồn tại giá trị nào của $x$ thỏa mãn $sin x = cos x = 1$

Vậy phương trình lượng giác $sin x + cos x = 2$ vô nghiệm