Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện (a+b)^3+4ab<=12. Chứng minh bất đẳng

Toán học - Lớp 9

19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải !!

Chương 1 - Bài 3: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông !!

Chương 1 - Ôn tập chương I !!

Chương 1 - Kiểm tra khảo sát chất lượng ôn !!

Chương 2 - Bài 1: Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn !!

Chương 2 - Bài 2: Đường kính và dây của đường tròn !!

Chương 2 - Bài 3: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn !!

Chương 2 - Bài 5: Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau !!

Chương 2 - Bài 4: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn !!

Chương 2 - Bài 6: Luyện tập tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau !!

Chương 2 - Bài 7: Vị trí tương đối của hai đường tròn !!

Chương 2 - Ôn tập chương 2 !!

Chương 2 - Đề kiểm tra đánh giá !!

Chương 3 - Bài 1: Góc ở tâm. Số đo cung !!

Chương 3 - Bài 2: Liên hệ giữa cung và dây !!

Chương 3 - Bài 3: Góc nội tiếp !!

Chương 3 - Bài 4: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung !!

Chương 4 - Bài 1: Diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ !!

Chương 3 - Đề kiểm tra chương 3 !!

Chương 3 - Bài 9: Diện tích hình tròn, hình quạt tròn !!

Chương 4 - Bài 2: Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt !!

Chương 4 - Bài 3: Diện tích và thể tích của hình cầu !!

Chương 3 - Bài 5: Góc có đỉnh bên trong đường tròn. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn !!

Chương 3 - Bài 6: Cung chứa góc !!

Câu hỏi :

Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện ${(a + b)}^{3} + 4 a b \leq 12.$ Chứng minh bất đẳng thức $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + 2015 a b \leq 2016.$

* Đáp án

* Hướng dẫn giải

Ta có $12 \geq {(a + b)}^{3} + 4 a b \geq {(2 \sqrt{a b})}^{3} + 4 a b$ . Đặt $t = \sqrt{a b}, t > 0$ thì

$12 \geq 8 t^{3} + 4 t^{2} \Leftrightarrow 2 t^{3} + t^{2} - 3 \leq 0 \Leftrightarrow (t - 1) (2 t^{2} + 3 t + 3) \leq 0$

Do $2 t^{2} + 3 t + 3 > 0, \forall t$ nên $t - 1 \leq 0 \Leftrightarrow t \leq 1$ . Vậy $0 < a b \leq 1$

Chứng minh được $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} \leq \frac{2}{1 + \sqrt{a b}}, \forall a, b > 0$ thỏa mãn $a b \leq 1$

Thật vậy, BĐT $\frac{1}{1 + a} - \frac{1}{1 + \sqrt{a b}} + \frac{1}{1 + b} - \frac{1}{1 + \sqrt{a b}} \leq 0$

$\frac{\sqrt{a b} - a}{(1 + a) (1 + \sqrt{a b})} + \frac{\sqrt{a b} - b}{(1 + b) (1 + \sqrt{a b})} \leq 0 \Leftrightarrow (\frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{1 + \sqrt{a b}}) (\frac{\sqrt{a}}{1 + a} - \frac{\sqrt{b}}{1 + b}) \Leftrightarrow \frac{{(\sqrt{b} - \sqrt{a})}^{2} (\sqrt{a b} - 1)}{(1 + \sqrt{a b}) (1 + a) (1 + b)} \leq 0$

Do $0 < a b \leq 1$ nên BĐT này đúng

Tiếp theo ta sẽ CM $\frac{2}{1 + \sqrt{a b}} + 2015 a b \leq 2016, \forall a, b > 0$ thỏa mãn $a b \leq 1$

Đặt $t = \sqrt{a b}, 0 < t \leq t$ ta được $\frac{2}{1 + t} + 2015 t^{2} \leq 2016$

$2015 t^{3} + 2015 t^{2} - 2016 t - 2014 \leq 0 \Leftrightarrow (t - 1) (2015 t^{2} + 4030 t + 2014) \leq 0$

BĐT này đúng $\forall t : 0 < t \leq 1$

Vậy $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + 2015 a b \leq 2016.$ Đẳng thức xảy ra a = b = 1

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !

19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải !!

Số câu hỏi: 160

Lớp 9

Toán học

Toán học - Lớp 9

Bạn có biết?

Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự Lớp 9

Lớp 9 - Là năm cuối ở cấp trung học cơ sở, sắp phải bước vào một kì thi căng thẳng và sắp chia tay bạn bè, thầy cô và cả kì vọng của phụ huynh ngày càng lớn mang tên "Lên cấp 3". Thật là áp lực nhưng các em hãy cứ tự tin vào bản thân là sẻ vượt qua nhé!

Nguồn : ADMIN :))