Cho p là số nguyên tố có dạng \(12k + 11\). Một tập con S của tập \(M = \{ 1;\,\,2;\,\,3; \ldots ;\,\,p - 2;\,\,p - 1\} \) được gọi là “tốt” nếu như tích của tất cả các phần tử củ...
Câu hỏi :
Cho p là số nguyên tố có dạng \(12k + 11\). Một tập con S của tập \(M = \{ 1;\,\,2;\,\,3; \ldots ;\,\,p - 2;\,\,p - 1\} \)
* Đáp án
* Hướng dẫn giải
Trước hết, xét tập con \(S = \left\{ {\frac{{p + 1}}{2},\frac{{p + 3}}{2}, \ldots ,p - 2,p - 1} \right\}\) thì rõ ràng S là tập con tốt và
\({\Delta _S} = {( - 1)^{\frac{{p - 1}}{2}}}\left( {\frac{{p - 1}}{2}} \right)! - \left( {\frac{{p - 1}}{2}} \right)! \equiv - 2\left( {\frac{{p - 1}}{2}} \right)! = 2a{\rm{ }}(\bmod p)\)
trong đó \(a = - \left( {\frac{{p - 1}}{2}} \right)!\) và thỏa mãn \(p|{a^2} - 1\) theo định lý Wilson.
Ta xét các trường hợp:
- Nếu \(a \equiv 1{\rm{ }}(\bmod p)\) thì \({\Delta _S} = 2{\rm{ }}(\bmod p)\).
- Nếu \(a \equiv - 1{\rm{ }}(\bmod p)\) thì trong tập con S thay \(\frac{{p + 1}}{2}\) bởi \(\frac{{p - 1}}{2} \equiv - \frac{{p + 1}}{2}(\bmod p)\) thì
dễ thấy dấu của \({\Delta _S}\) sẽ được thay đổi thành 2. Khi đó, trong cả hai trường hợp, ta đều chỉ ra được tập con tốt có \({\Delta _S} = 2{\rm{ }}(\bmod p)\).
Ta sẽ chứng minh rằng không tồn tại S tốt sao cho \({\Delta _S} = 1{\rm{ }}(\bmod p)\). Xét một tập con tốt bất kỳ và gọi a, a' lần lượt là tích các phần tử của S, M\S. Theo định lý Wilson thì \(aa' = (p - 1)! \equiv - 1{\rm{ }}(\bmod p)\).
Khi đó, nếu \(a \equiv a'{\rm{ }}(\bmod p)\) thì \(p|{a^2} + 1\), vô lý vì ta đã biết \({a^2} + 1\) không có ước nguyên tố dạng 4k + 3. Còn nếu \(a - a' \equiv 1{\rm{ }}(\bmod p)\) thì \({(2a - 1)^2} \equiv - 3{\rm{ }}(\bmod p)\), cũng vô lý vì \(\left( {\frac{{ - 3}}{p}} \right) = - 1\) do theo giả thiết thì \(p \equiv 11{\rm{ }}(\bmod 12).\)
Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là 2.
Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !
Đề thi HSG môn Toán 11 Chuyên năm 2019 khu vực Duyên hải và đồng bằng Bắc Bộ
Bạn có biết?
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 11
Lớp 11 - Năm thứ hai ở cấp trung học phổ thông, gần đến năm cuối cấp nên học tập là nhiệm vụ quan trọng nhất. Nghe nhiều đến định hướng sau này rồi học đại học. Ôi nhiều lúc thật là sợ, hoang mang nhưng các em hãy tự tin và tìm dần điều mà mình muốn là trong tương lai nhé!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK