a. Ta có trong $\Delta ABC$ có $M$ là trung điểm của $BC$ và $N$ là trung điểm của $AC$

$\Rightarrow PM$ là đường trung bình của $\Delta ABC$

$\Rightarrow PM\parallel AB$ và $PM=\dfrac{AB}{2}=NC$

$\Rightarrow\vec{ PM}= \vec{ NC}$

Ta có:

$\vec{ AM}=\vec{AP}+\vec{PM}$, $\vec{ BN}=\vec{BP}+\vec{PN}$, $\vec{ CP}=\vec{CN}+\vec{NP}$

$\Rightarrow VT=\vec{AM}+\vec{ BN}+ \vec{CP}$

$=\vec{AP}+\vec{PM}+\vec{BP}+\vec{PN}+\vec{CN}+\vec{NP}$ $(\vec{PN}+\vec{NP}=0)$

$=\vec{AP}+\vec{BP}+\vec{PM}+\vec{CN}$

$=-(\vec{PA}+\vec{PB})+\vec{NC}+\vec{CN}$

$=\vec 0=VP$ (vì $\vec{ PA}+\vec{PB}=\vec 0, \vec{NC}+\vec{CN}=\vec 0$) (đpcm).

b. Ta có:

$\vec{OA}=\vec{OM}+\vec{MA}, \vec{OB}=\vec{ON}+\vec{NB},\vec{OC}=\vec{OP}+\vec{PC}$

$\vec{MA}+\vec{NB}+\vec{PC}=-(\vec{AM}+\vec{BN}+\vec{CP})=0$

$\Rightarrow\vec{ OA}+\vec{OB}+ \vec{OC}=\vec{OM}+\vec{ ON}+\vec{ OP}$ $\Leftrightarrow\vec{OM}+\vec{MA}+\vec{ON}+\vec{NB}+\vec{OP}+\vec{PC}=\vec{OM}+\vec{ON}+\vec{OP}$

$\Leftrightarrow-\vec{MA}+(-\vec{NB})+(-\vec{PC})=\vec 0$

$\Leftrightarrow\vec{AM}+\vec{BN}+\vec{CP}=0$ (đã chứng minh ở câu a) (đpcm).