Gọi O là tâm tam giác đều ABC, M là trung điểm của AB => C, O, M thẳng hàng. Chóp S.ABC đều \( \Rightarrow SO \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SO \bot AB\). Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot SO\\AB \bot CM\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SCM} \right) \Rightarrow AB \bot SC\) \(\left\{ \begin{array}{l}SC \bot AB\\SC \bot AH\end{array} \right. \Rightarrow SC \bot \left( {ABH} \right)\). Áp dụng định lí hàm số cosin trong tam giác SAC có : \({\mathop{\rm cosS}\nolimits} = \frac{{S{A^2} + S{C^2} - A{C^2}}}{{2SA.SC}} = \frac{{4{a^2} + 4{a^2} - {a^2}}}{{2.2a.2a}} = \frac{7}{8}\). Xét tam giác vuông SAH có : \(SH = SA.cosS = 2a.\frac{7}{8} = \frac{{7a}}{4}\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{SH}}{{SC}} = \frac{{7a}}{4}:2a = \frac{7}{8}\\ \Rightarrow \frac{{{V_{S.ABH}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SH}}{{SC}} = \frac{7}{8}\end{array}\). Ta có \(CO = \frac{2}{3}CM = \frac{2}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) \( \Rightarrow SO = \sqrt {S{C^2} - C{O^2}} = \frac{{a\sqrt {33} }}{3}\). \({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt {33} }}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt {11} }}{{12}}\) . Vậy \({V_{S.ABH}} = \frac{7}{8}.\frac{{{a^3}\sqrt {11} }}{{12}} = \frac{{7{a^3}\sqrt {11} }}{{96}}\).