Đáp án:

Giải thích các bước giải: Gọi H, J, K lần lượt là ình chiếu của O lên \({B_1}{B_4},{B_2}{B_5},{B_3}{B_6}\). Ta có các điểm O, I, J, K, H cùng thuộc đường tròn đường kính OI. Do đó \(\widehat {KJH} = \widehat {KIH} = {60^0},\widehat {KHJ} = \widehat {KIJ} = {60^0} \Rightarrow \Delta HJK\) đều. Ta có: \[\begin{array}{l}IB_1^2 + IB_4^2 = {\left( {\overrightarrow {H{B_1}} - \overrightarrow {HI} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {H{B_4}} - \overrightarrow {HI} } \right)^2}\\ = HB_1^2 + HB_4^2 - 2\overrightarrow {HI} \left( {\overrightarrow {H{B_1}} + \overrightarrow {H{B_4}} } \right) + 2H{I^2}\\ = \left( {OB_1^2 - O{H^2}} \right) + \left( {OB_4^2 - O{H^2}} \right) + 2H{I^2}\\ = 2{R^2} - 2O{H^2} + 2H{I^2}\end{array}\] Tương tự \[\begin{array}{l}IB_2^2 + IB_5^2 = 2{R^2} - 2O{J^2} + 2I{J^2}\\IB_3^2 + IB_6^2 = 2{R^2} - 2O{K^2} + 2I{K^2}\end{array}\] \( \Rightarrow \sum {IB_i^2} = 6{R^2} - 2\left( {O{H^2} + O{J^2} + O{K^2}} \right) + 2\left( {I{H^2} + I{J^2} + I{K^2}} \right)\) Lại có: \[I{H^2} + I{J^2} + I{K^2} = O{H^2} + O{J^2} + O{K^2}\] Vậy \(\sum {IB_i^2} = 6{R^2}\)