Đáp án: $k=\dfrac{1+\sqrt{17}}{8}$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$\dfrac{SF}{SC}=k=\dfrac{k}{1}$

$\to \dfrac{SF}{SC-SF}=\dfrac{k}{1-k}$

$\to\dfrac{SF}{FC}=\dfrac{k}{1-k}$

Ta có $ABCD$ là hình thoi

$\to AC\perp BD$ gọi $AC\cap BD=O\to O$ là trung điểm mỗi đường

Mà $SA\perp ABCD\to SA\perp BD$

$\to BD\perp SAC$

$\to BD\perp SC$

Kẻ $AF\perp SC=F, SO\cap AF=I$

Qua $I$ kẻ đường thẳng song song với $BD$ cắt $SD,SB$ lần lượt tại $E,G$

$\to EG//BD\to EG\perp SC$

Mà $SC\perp AF\to SC\perp AEFG$

Ta có $A,I,F$ thẳng hàng

$\to \dfrac{AC}{AO}\cdot \dfrac{IO}{IS}\cdot\dfrac{FC}{FS}=1$

$\to 2\cdot \dfrac{IO}{IS}\cdot\dfrac{FS}{FC}=1$

$\to \dfrac{IS}{IO}=\dfrac{2FS}{FC}=\dfrac{2k}{1-k}$

$\to\dfrac{SI}{SI+IO}=\dfrac{2k}{2k+1-k}=\dfrac{2k}{k+1}$

$\to \dfrac{SI}{SO}=\dfrac{2k}{k+1}$

Ta có:

$EG//BD\to\dfrac{SG}{SB}=\dfrac{SI}{SO}=\dfrac{2k}{k+1}$

Ta có $(P)$ chia khối chóp thành $2$ phần bằng nhau

$\to \dfrac{V_{SAEFG}}{V_{SABCD}}=\dfrac12$

$\to \dfrac{2V_{SAFG}}{2V_{SABC}}=\dfrac12$

$\to \dfrac{V_{SAFG}}{V_{SABC}}=\dfrac12$

$\to \dfrac{SA}{SA}\cdot \dfrac{SG}{SB}\cdot\dfrac{SF}{SC}=\dfrac12$

$\to 1\cdot \dfrac{2k}{k+1}\cdot k=\dfrac12$

$\to k=\dfrac{1+\sqrt{17}}{8}$