Đáp án:

Giải thích các bước giải: Gọi \(O=AC\cap BD\Rightarrow BD\cap \left( B'AC \right)=O\). Ta có: \(\left\{ \begin{align} AC\bot BD \\ AC\bot BB' \\ \end{align} \right.\Rightarrow AC\bot \left( BB'O \right)\) Trong \(\left( {BB'O} \right)\) kẻ \(BH\bot B'O\Rightarrow AC\bot BH\) \(\Rightarrow BH\bot \left( B'AC \right)\). \(\Rightarrow OH\) là hình chiêu của OB trên (B’AC) \( \Rightarrow \angle \left( {BD;\left( {B'AC} \right)} \right) = \angle \left( {BO;OH} \right) = \angle BOH\). Ta có \(BD=a\sqrt{2}\Rightarrow BO=\frac{a\sqrt{2}}{2}\). Xét tam giác vuông BB’O có : \(\tan \angle BOB'=\frac{BB'}{BO}=\frac{a}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}\). Vậy \(\angle \left( BD;\left( B'AC \right) \right)=\arctan \sqrt{2}\).

Em vẽ hình nhé em:

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Kẻ BH vuông góc với B'O.

Ta có: AC vuông góc với BD; AC vuông góc với BB'

=> AC vuông góc với mp (BB'O).

=> AC vuông góc với BH.

Lại có BH vuông góc với B'O (cách dựng)

=> BH vuông góc với (B'AC).

=> HÌnh chiếu của B trên (B'AC) là H.

Hình chiếu của O trên (B'AC) là O

=> góc giữa BD và (B'AC) là góc giữa BO và OH

Hay chính là góc BOB'.