Đáp án:

 1) $m \in \left( { - \sqrt 3 ; - 1} \right) \cup \left( {1 - \sqrt 2 ;1} \right) \cup \left( {\sqrt 3 ;1 + \sqrt 2 } \right)$

2) $m \in \left\{ {\dfrac{{1 - \sqrt {105} }}{6};\dfrac{7}{6};\dfrac{{1 + \sqrt {105} }}{6}} \right\}$

Giải thích các bước giải:

 1) Ta có:

$y = {x^3} - 3m{x^2} + 3\left( {{m^2} - 1} \right)x - {m^2} + 1$

Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm ở 2 phía của trục Ox.

$ \Leftrightarrow y' = 3{x^2} - 6mx + 3\left( {{m^2} - 1} \right)$ có 2 nghiệm ${x_1},{x_2}$ phân biệt và ${y_1}{y_2} < 0$

Mà: 

$y' = 3{x^2} - 6mx + 3\left( {{m^2} - 1} \right) = 3\left( {x - m - 1} \right)\left( {x - m + 1} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = m - 1\\
{x_2} = m + 1
\end{array} \right.$

Khi đó:

${y_1} = {\left( {m - 1} \right)^3} - 3m{\left( {m - 1} \right)^2} + 3\left( {{m^2} - 1} \right)\left( {m - 1} \right) - {m^2} + 1 = {m^3} - {m^2} - 3m + 3 = \left( {m - 1} \right)\left( {{m^2} - 3} \right)$

Và

${y_2} = {\left( {m + 1} \right)^3} - 3m{\left( {m + 1} \right)^2} + 3\left( {{m^2} - 1} \right)\left( {m + 1} \right) - {m^2} + 1 = {m^3} - {m^2} - 3m - 1 = \left( {m + 1} \right)\left( {{m^2} - 2m - 1} \right)$

Như vậy:

$\begin{array}{l}
{y_1}{y_2} < 0\\
 \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {{m^2} - 3} \right)\left( {m + 1} \right)\left( {{m^2} - 2m - 1} \right) < 0\\
 \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 1} \right)\left( {{m^2} - 3} \right)\left( {{m^2} - 2m - 1} \right) < 0
\end{array}$

Ta có bảng xét dấu: $f\left( m \right) = \left( {{m^2} - 1} \right)\left( {{m^2} - 3} \right)\left( {{m^2} - 2m - 1} \right)$ (H1)

Khi đó:

$f\left( m \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 - \sqrt 3  < m <  - 1\\
1 - \sqrt 2  < m < 1\\
\sqrt 3  < m < 1 + \sqrt 2 
\end{array} \right.$

Vậy $m \in \left( { - \sqrt 3 ; - 1} \right) \cup \left( {1 - \sqrt 2 ;1} \right) \cup \left( {\sqrt 3 ;1 + \sqrt 2 } \right)$ thỏa mãn.

2) Ta có:

Giả sử đồ thị hàm số $y = {x^3} - \left( {3m + 1} \right){x^2} + \left( {5m + 4} \right)x - 8$ cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ theo thứ tự lần lượt là ${x_1},{x_2},{x_3}$

Khi đó:

Theo ĐL Viet, ${x_1},{x_2},{x_3}$ thỏa mãn:

$\left( I \right)\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} + {x_3} = 3m + 1\\
{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_1}{x_3} = 5m + 4\\
{x_1}{x_2}{x_3} = 8
\end{array} \right.$

Lại có: 3 điểm trên trục hoành cách đều nhau $ \Rightarrow {x_2} = \dfrac{{{x_1} + {x_3}}}{2}$

Kết hợp với hệ (I) ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} + {x_3} = 3m + 1\\
{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_1}{x_3} = 5m + 4\\
{x_1}{x_2}{x_3} = 8\\
{x_2} = \dfrac{{{x_1} + {x_3}}}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_3} = 2{x_2}\\
{x_2} + \left( {{x_1} + {x_3}} \right) = 3m + 1\\
{x_2}\left( {{x_1} + {x_3}} \right) + {x_1}{x_3} = 5m + 4\\
{x_1}{x_2}{x_3} = 8
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_3} = 2{x_2}\\
3{x_2} = 3m + 1\\
2x_2^2 + {x_1}{x_3} = 5m + 4\\
{x_2}\left( {{x_1}{x_3}} \right) = 8
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_3} = 2{x_2}\\
{x_2} = \dfrac{{3m + 1}}{3}\\
{x_1}{x_3} = 5m + 4 - 2{\left( {\dfrac{{3m + 1}}{3}} \right)^2}\\
\dfrac{{3m + 1}}{3}.\left( {5m + 4 - 2{{\left( {\dfrac{{3m + 1}}{3}} \right)}^2}} \right) = 8\left( 1 \right)
\end{array} \right.\\
\left( 1 \right) \Leftrightarrow 54{m^3} - 81{m^2} - 135m + 182 = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {6m - 7} \right)\left( {9{m^2} - 3m - 26} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = \dfrac{7}{6}\\
m = \dfrac{{1 + \sqrt {105} }}{6}\\
m = \dfrac{{1 - \sqrt {105} }}{6}
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy $m \in \left\{ {\dfrac{{1 - \sqrt {105} }}{6};\dfrac{7}{6};\dfrac{{1 + \sqrt {105} }}{6}} \right\}$ thỏa mãn.