Lời giải: 

*) Gọi P là giao điểm của OH với (OMN)

Ta có: $\overline {HM} .\overline {HN}  = \overline {HO} .\overline {HP}  =  - {k^2}$

Mà O, H cố định, K không đổi nên P cố định.

Vậy (OMN) luôn đi qua 2 điểm cố định là O, P.

*) Gọi IH là đường kính của (O); E, F là giao điểm của IA, IB với d

Dễ thấy M, N lần lượt là trung điểm của EH, FH

Ta có: $\overline {HE} .\overline {HF}  = 2\overline {HM} .2\overline {HN}  =  - 4{k^2}$

Dựng đường tròn (IEF) cắt IH tại điểm thứ hai là điểm J

${\wp _{H/({\rm{IEF)}}}} = \overline {HI} .\overline {HJ}  = \overline {HE} .\overline {HF}  =  - 4{k^2}$

⇒ J cố định

Trong các tam giác vuông IHE và IHF có: 

IA.IE = IB.IF = IH²

⇒ ABEF nội tiếp

⇒ $\widehat {IAB} = \widehat {EFB}$ (cùng bù với góc EAB)

Mà $\widehat {EFB} = \widehat {EJI} \Rightarrow \widehat {IAB} = \widehat {EIJ}$

Gọi K là giao của AB và IJ ta có: AKJE nội tiếp

${\wp _{I/(AKJE)}} = \overline {IA} .\overline {IE}  = \overline {IK} .\overline {IJ}  = I{H^2}$

⇒ K  cố định

Vậy AB luôn đi qua K cố định