1) Gọi $I$ là trung điểm cạnh $BC$

$\Rightarrow \vec{AG}=\dfrac{2}{3}\vec{AI}$

$=\dfrac{2}{3}(\vec{AB}+\vec{BI})$

$=\dfrac{2}{3}\vec{AB}+\dfrac{2}{3}\dfrac{1}{2}\vec{BC}$

$=\dfrac{2}{3}\vec{AB}+\dfrac{1}{3}(\vec{BA}+\vec{AC})$

$=\dfrac{1}{3}\vec{AB}+\dfrac{1}{3}\vec{AC}$

2) Gọi $I$ là điểm đối xứng của $A$ qua $M$

$\Rightarrow M$ là trung điểm của $AI$

Mà $M$ là trung điểm của $CD$

Do đó tứ giác $ACID$ là hình bình hành

Theo quy tắc hình bình hành

$\vec{AI}=\vec{AD}+\vec{AC}$

$=\vec{BC}+\vec{AC}$

$=\vec{BA}+\vec{AC}+\vec{AC}$

$=-\vec{AB}+2\vec{AC}$

$\Rightarrow \vec{AM}=\dfrac{1}{2}\vec{AI}$

$=\dfrac{1}{2}(-\vec{AB}+2\vec{AC})$

$=\dfrac{-\vec{AB}}{2}+\vec{AC}$

3) $AH=\dfrac{2}{3}AB$

$\Rightarrow \vec{AH}=\dfrac{2}{3}\vec{AB}$

$AK=\dfrac{1}{3}AC$

$\Rightarrow \vec{AK}=\dfrac{1}{3}\vec{AC}$

$\dfrac{BM}{MC}=\dfrac{3}{4}$

$\Rightarrow \dfrac{BM}{MC+BM}=\dfrac{3}{4+3}$

$\Rightarrow\dfrac{BM}{BC}=\dfrac{3}{7} $

$\Rightarrow BM=\dfrac{3}{7}BC$

$\Rightarrow\vec{BM}=\dfrac{3}{7}\vec{BC}$

$=\dfrac{3}{7}(\vec{BA}+\vec{AC})$

$=\dfrac{3}{7}(-\vec{AB}+3\vec{AK})$

$=-\dfrac{3}{7}\dfrac{3}{2}\vec{AH}+\dfrac{9}{7}\vec{AK}$

$=-\dfrac{9}{14}\vec{AH}+\dfrac{9}{7}\vec{AK}$

4) $\vec{DI}=\vec{DC}+\vec{CI}$

$=\vec{AB}+\dfrac{1}{2}\vec{CB}$

$=\vec{AB}-\dfrac{1}{2}\vec{BC}$

$=\vec{AB}-\dfrac{1}{2}\vec{AD}$

$=\vec a-\dfrac{1}{2}\vec b$

Gọi $E$ là trung điểm của $CI$

$\vec{IE}=\dfrac{1}{2}\vec{IC}$

$=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2}\vec{BC}$

$=\dfrac{1}{4}\vec b$

$G$ là trọng tâm $\Delta CDI$

$\Rightarrow DG=\dfrac{2}{3}DE$

$\Rightarrow \vec{DG}=\dfrac{2}{3}\vec{DE}$

$=\dfrac{2}{3}(\vec{DI}+\vec{IE})$

$=\dfrac{2}{3}(\vec a-\dfrac{1}{2}\vec b+\dfrac{1}{4}\vec b)$

$=\dfrac{2}{3}\vec a-\dfrac{1}{6}\vec b$

Vậy $\vec{AG}=\vec{AD}+\vec{DG}$

$=\vec b+\dfrac{2}{3}\vec a-\dfrac{1}{6}\vec b$

$=\dfrac{2}{3}\vec a+\dfrac{5}{6}\vec b$