a) Giả sử phản chứng rằng cả a và b đều lớn hơn hoặc bằng 1, khi đó

$a + b \geq 1 + 1 = 2$ (mâu thuẫn)

Vậy a hoặc b phải nhỏ hơn 1.

b) Giả sử phản chứng rằng cả 3 góc của tam giác ABC đó lớn hơn 60 độ. Khi đó

$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} > 60 + 60 + 60 = 180$

Điều này là mâu thuẫn, vậy phải có ít nhất một góc nào đó nhỏ hơn $60^{\circ}$.

c) Ta thấy vai trò của x và y là như nhau. Ko mất tquat, giả sử $x = -1$, khi đó

$x + y + xy = -1 + y -y = -1$

Theo đề bài lại có $x + y + xy \neq -1$ (mâu thuẫn).

Vậy $x \neq -1$ và $y \neq -1$.

d) Giả sử phản chứng rằng bình phương của một số tự nhiên $n$ là một số chẵn nhưng $n$ là số lẻ.

Do bình phương của n là chẵn nên ta có

$n^2 = 2k$ với $k$ là một số tự nhiên nào đó.

Mặt khác, do $n$ là số lẻ nên $n = 2l+1$ với $l$ là một số tự nhiên nào đó. Khi đó

$$n^2 = (2l +1)^2 = 4l^2 + 4l +1 = 2k$$

Điều này tương đương với

$$1 = 2(k-2l^2-2l)$$

Vậy 1 là bội của 2, tức là 1 là số chẵn (vô lý do 1 là số lẻ).

Vậy n cũng phải là một số chẵn.

e) Giả sử tích của 2 số tự nhiên $m$, $n$ là một số lẻ nhưng tổng của nó là một số lẻ.

Do tổng của $m$ và $n$ là một số lẻ nên phải có một số lẻ, một số chẵn.

Ko mất tquat, giả sử $m$ là số lẻ, $n$ là số chẵn.

Do $n$ là một số chẵn nên $n = 2k$ với $k$ là một số tự nhiên nào đó. Khi đó

$mn = m.2k = 2(mk)$

Vậy $mn$ là một số chẵn (trái với giả thiết). Vậy tổng của chúng phải là một số lẻ.

f)

g) Giả sử phản chứng rằng một trong 2 số $x$ hoặc $y$ khác 0. Ko mất tquat, giả sử $x, \neq 0$, khi đó, ta có $x^2 >0$ và $y^2 \geq 0$, vậy

$$x^2 + y^2 >0$$

Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Do đó $x = y = 0$.