Gọi \(M',E\) lần lượt là trung điểm của \(AC,AB\)

Dựng \(BG=\dfrac{2}{3}BM'\)

\(\Rightarrow G\) là trong tâm \(\Delta ABC\)

Có \(I\) đối xứng với \(B\) qua \(G\)

\(\Rightarrow G\) là trung điểm của \(BI\)

\(M\) là trung điểm của \(BI\)

\(\Rightarrow GM\) là đường trung bình \(\Delta BIC\)

\(\Rightarrow GM\parallel=\dfrac{1}{2}IC\)

\(\Rightarrow 2GM=IC\)

Do \(A, G, M\) thẳng hàng

\(\Rightarrow AG\parallel IC\)

\(AG=2GM\Rightarrow AG=IC\)

\(\Rightarrow \) tứ giác \(AGCI\) là hình bình hành

\(\Rightarrow \vec{AI}=\vec{GC}\)

\(=\dfrac{2}{3}\vec{EC}\)

\(=\dfrac{2}{3}(\vec{EA}+\vec{AC})\)

\(=\dfrac{2}{3}\left({\dfrac{1}{2}\vec{BA}+\vec{AC}}\right)\)

\(=\dfrac{2}{3}\left({-\dfrac{1}{2}\vec{AB}+\vec{AC}}\right)\)

\(=-\dfrac{1}{3}\vec{AB}+\dfrac{2}{3}\vec{AC}\).

Tứ giác \(AGCI\) là hình bình hành, áp dụng quy tắc hình bình hành vào tứ giác này:

\(\Rightarrow \vec{CI}+\vec{CG}=\vec{CA}\)

\(\Rightarrow \vec{CI}=\vec{CA}-\vec{CG}\)

mà \(\vec{CG}=\dfrac{2}{3}\vec{CE}=\dfrac{2}{3}(\vec{CA}+\vec{AE})\)

\(=\dfrac{2}{3}(\vec{CA}+\dfrac{1}{2}\vec{AB})=\dfrac{2}{3}\vec{CA}+\dfrac{1}{3}\vec{AB}\)

\(\Rightarrow \vec{CI}=\vec{CA}-\left({\dfrac{2}{3}\vec{CA}+\dfrac{1}{3}\vec{AB}}\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\vec{CA}-\dfrac{1}{3}\vec{AB}=-\dfrac{1}{3}\vec{AC}-\dfrac{1}{3}\vec{AB}\).

\(\vec{MI}=\vec{MA}+\vec{AI}\)

mà \(\vec{MA}=\vec{MG}+\vec{GA}=\dfrac{1}{2}\vec{CI}+\vec{CI}=\dfrac{3}{2}\vec{CI}\)

\(\Rightarrow \vec{MI}=\dfrac{3}{2}\vec{CI}+\vec{AI}\)